Carsten Heinisch

Alle Bücher von Carsten Heinisch

Neue Rezensionen zu Carsten Heinisch

Cover des Buches Fibonaccis Kaninchen: und 49 andere Entdeckungen, die die Mathematik revolutionierten (ISBN: 9783957284433)D

Rezension zu "Fibonaccis Kaninchen: und 49 andere Entdeckungen, die die Mathematik revolutionierten" von Adam Hart-Davis

Ist "das Gebäude der Mathematik" nur ein Kartenhaus?
Dr_Mvor 10 Monaten

Das jedenfalls behauptet der Autor auf Seite 144 dieses Buches. Rein theoretisch natürlich, praktisch aber nicht. Bereits in seinen beiden vorangegangenen Büchern fiel mir Hart-Davis durch seine gelegentlich ziemlich unglücklichen, weil unpräzisen Formulierungen auf. Hier, wo es um Mathematik geht, sind solche vagen Behauptungen völlig deplatziert.

Natürlich ist das "Gebäude der Mathematik" kein Kartenhaus. In dem Abschnitt des Buches, um den es hier geht, befasst sich Hart-Davis mit zwei Theoremen von Kurt Gödel, die zeigen, dass ein Punkt im berühmten Programm von David Hilbert unlösbar ist. Und dieser Punkt betrifft die Axiomatisierung der Mathematik. Jedes Teilgebiet der Mathematik kann man durch einige scheinbar offensichtlichen Aussagen, die man nicht beweist, axiomatisieren. Diese Axiome sollten widerspruchsfrei und vollständig sein.

So lässt sich zum Beispiel die Geometrie, so wie man sie in der Schule lernt, axiomatisieren. Diese Geometrie nennt man euklidisch. Kehrt man zum Beispiel das sogenannte Parallelen-Axiom ins Gegenteil um, erhält man eine widerspruchsfreie andere Geometrie, die man nicht-euklidisch nennt. Drei Mathematiker entwickelten diese Theorie, darunter auch Gauß. Doch Gauß veröffentlichte seine Arbeit nicht, wohl wissend, dass man ihn vielleicht für verrückt halten würde. Diese scheinbar blödsinnige Theorie und die sich daraus entwickelnde Differentialgeometrie fanden später wichtige Anwendungen, zum Beispiel in Einsteins Allgemeiner Relativitätstheorie.

Für die gesamte Mathematik folgt aus Gödels Theoremen, dass man ein solches System von Axiomen nicht schaffen kann, weil man entweder die Vollständigkeit oder die Widerspruchsfreiheit innerhalb des Systems der Mathematik nicht beweisen kann. So kompliziert die Arbeiten Gödels erscheinen, so einfach kann man sie verstehen, denn schließlich braucht man das System selbst um einen solchen Beweis erbringen zu können. Das führt auf ein ähnliches Paradoxon wie die Aussage eines Barbiers, der behauptet, er würde nur Leute rasieren, die sich nicht selbst rasieren würden. Man kann nicht entscheiden, ob er sich selbst rasiert oder nicht. Der Selbstbezug führt sofort auf das Paradoxon.

Leider erklärt Hart-Davis das nicht besonders schön. Wie schon bei seinen beiden anderen Bänden muss man ihn wegen seines Mutes, für ihn fachfremde Bücher zu schreiben und seiner Kenntnisse bewundern. Aber andererseits merkt man diesen Büchern auch an, dass er dabei gelegentlich doch an seine Grenzen stößt. Hier ist das besonders deutlich, allerdings wo möglich nur für Leute, die sich in den Fachgebieten auskennen, um die es Hart-Davis geht. Seine Ausführungen streifen die Geschichte der Mathematik. Das macht er im Großen und Ganzen sehr gut. Allerdings ist er dabei alles andere als vollständig. Und verstehen kann man manches vermutlich nicht wirklich, auch wenn der eine oder andere Leser das vielleicht von sich glaubt.

Was ich mit vagen und unpräzisen Formulierungen meine, kann man zum Beispiel an den Ausführungen zur Eulerschen Zahl e in diesem Buch verdeutlichen. Ähnlich wie die Zahl Pi ist die Eulerzahl eine Naturkonstante. Sie beschreibt erst einmal rein gar nichts, sondern ist wie Pi eine irrationale Zahl, lässt sich also nicht als Bruch ganzer Zahlen darstellen. Hart-Davis jedoch steigt gleich einmal in die Vollen und behauptet, diese Zahl würde "das konstante Wachstum" beschreiben. Abgesehen davon, dass eine Zahl rein gar nichts beschreibt, muss das jedem erst einmal ein Rätsel bleiben, denn später steht die Eulerzahl bei ihm für exponentielles Wachstum. Tatsächlich geht es an dieser Stelle allein darum, dass die erste Ableitung der Exponentialfunktion die Exponentialfunktion selbst ist. Verstehen kann man das aus dem Text heraus jedoch nicht. Übrigens auch dann nicht, wenn er es später zu erklären versucht.

Dann kommt der Autor zum exponentiellen Wachstum, das ja gerade bei Corona in Mode gekommen ist. Da steht dann folgender Satz als Definition: "Exponentielles Wachstum ist zu jedem Zeitpunkt proportional zu der jeweils betrachteten Größe." Zwei Größen sind proportional, wenn ihr Verhältnis konstant ist. Wie soll man den Satz von Hart-Davis verstehen, wenn sich die zum Beispiel eine Größe in jedem Schritt verdoppelt? Was Hart-Davis eigentlich meint, ist dass sich die Exponentialfunktion exp(t) in Abhängigkeit von der Zeit als einzige Lösung der einfachsten linearen Differentialgleichung y‘(t)=y(t) ergibt. Links steht die Ableitung (die Geschwindigkeit) und rechts die Größe selbst. Teilt man beide Seiten durch y(t), dann hat man die behauptete Proportionalität.

Dann folgen irgendwelche recht ominösen Aussagen zur Eulerschen Zahl bei der Zinseszinsberechnung. Dort kommt diese Zahl aber überhaupt nicht vor, und Hart-Davis schreibt auch nichts weiter dazu. Tatsächlich erreicht man die Eulerzahl als Grenzwert bei unendlicher Verzinsung. Dazu muss man aber den Zinssatz bei jedem Schritt verändern und ihn nicht konstant lassen, wie der Autor es tut.

Endlich danach kommt Hart-Davis zur Angabe, was die Eulerzahl für einen Wert hat und wie man sie berechnet. Der Abschnitt endet mit einer Behauptung, die wirklich ergreifend ist. Nachdem er die Gleichheit von e hoch i (Wurzel aus minus Eins) mal Pi und minus Eins erwähnt hat, behauptet Hart-Davis, dass manche in dieser Formel "die schönste Gleichung überhaupt sehen", sondern auch eine, die "aus Sicht vieler Mathematiker die gesamte Mathematik zusammenfasst." Abgesehen davon, dass jemand, der sich mit der Geschichte der Mathematik befasst, offenbar den Unterschied zwischen einer Gleichheit und einer Gleichung nicht kennt, behauptet Hart-Davis hier etwas, was jenseits von Gut und Böse ist. Er will die Mathematik zusammengefasst wissen. Auf diese abstruse Idee muss man erst einmal kommen.

Man sieht allein an diesem kurzen Abschnitt von drei Seiten, dass man eigentlich so gut wie nichts wirklich auch gut und vor allem richtig erklärt bekommt. Vielleicht besitzt dieses Buch dennoch die Eigenschaft, interessierte Schüler für Mathematik zu begeistern. Allerdings befürchte ich wegen der vielen Ungereimtheiten, dass mancher Leser früh die Segel streichen wird. Und das ist dann recht schade.

Kommentieren0
Teilen

Gespräche aus der Community

Starte mit "Neu" die erste Leserunde, Buchverlosung oder das erste Thema.

Community-Statistik

Was ist LovelyBooks?

Über Bücher redet man gerne, empfiehlt sie seinen Freunden und Bekannten oder kritisiert sie, wenn sie einem nicht gefallen haben. LovelyBooks ist der Ort im Internet, an dem all das möglich ist - die Heimat für Buchliebhaber und Lesebegeisterte. Schön, dass du hier bist!

Mehr Infos

Hol dir mehr von LovelyBooks